Analyse d’un système multiserveur avec rappels et avec pertes par la méthode des martingales

Abstract

Les martingales constituent une classe très importante de processus stochastiques pour laquelle les propriétés sont basées sur celles de l’espérance mathématique conditionnelle. L’interprétation de ce processus stochastique est intéressante. En effet la valeur d’une martingale peut changer ; Cependant, ses espérances restent constantes dans le temps. Plus important, l’espérance d’une martingale n’est pas affectée par l’échantillonnage aléatoire (optional sampling). Parmi les principales approches introduites ces dernières années en théorie des files d’attente, on trouve la méthode des martingales. L’avantage de cette approche est de permettre de formuler et d’analyser des problèmes plus généraux, en étudiant une extension plus large, que les méthodes traditionnelles. Dans ce travail, nous utilisons la décomposition de Doob-Meyer des semi martingales pour analyser un système multiserveur non-markovien avec rappels et avec pertes. Nous considérons d’abord le problème général où le processus d’arrivée est un processus ponctuel, nous obtenons les équations de la distribution du nombre de clients dans le système. Ensuite nous considérons le cas où le processus ponctuel est un processus de Poisson. Nous terminons notre travail par des exemples numériques.