Réduction des singularités des équations différentielles A(x, y)dy = B(x, y)dx

Abstract

Ce travail s'inscrit dans le cadre de l'étude de l'existence des solutions algébriques d'équations différentielles de la forme : A(,y)dy = B(x,y)d. où A, B sont des éléments de l'anneau des séries formelles à deux variables C[[X,Y]] Il a pour principal objectif de réduire le problème au cas particulier où r = min(O(A), O(B)) <1 avec 0(X) désigne l'ordre de la série formelle X, Cette réduction apparait dans les différentes extensions du théorème fondamental de réduction des singularités de l'équation différentielle Ady = Bd. ( Théorème3.2) dû à A. Seidenberg [4) puis ensuite à Arno Van Dan Esen[1]. Il s'agit de montrer, qu'après un nombre fini de transformations de type : translations, transformations linéaires et éclatements ou " blowing up ", les solutions de l'équation différentielle Ady = Bdr, dans le cas où r > 1, correspondent à des solutions du même type d'équation, mais dans laquelle r < 1. En particulier, afin de chercher une démonstration plus simple de ce théorème, on utilisera dans ce travail, à côté des différentes propriétés et résultats concernant la paramétrisation des éléments de C[[X,Y]], la notion de multiplicité de l'intersection des courbes algébriques.