Etude des propriétes d'une classe de transformations birationnelles complexités et points fixes

Abstract

Nous étudierons dans ce travail certaines propriétés de transformations birationnelles construites à partir de matrices d'ordre quelconque qxq et ayant pour origine la mécanique statistique sur réseau. Nous donnerons une classification de ces transformations en fonction des permutations des éléments de ces matrices (essentiellement pour des matrices d'ordres 3 x 3 et 4 x 4). On verra ainsi qu'il existe plusieurs classes de transformations ayant chacune une complexité et un schéma de factorisation propre. Nous nous intéresserons ensuite aux deux classes particulières les plus simples ayant les plus petites complexités X): la classe des transformations intégrables de complexité = 1 et la classe ayant la plus petite complexité supérieure à 1 appelée Classe IV. Nous réduirons cette dernière à une transformation à deux variables et à deux paramètres. L'étude de cette dernière est ensuite faite en détails en fonctions des valeurs des paramètres à travers les propriétés de ses points fixes, l'apparition de l'intégrabilité, l'entropie topologique (réelle et complexe), les fusions et les coalescences des points fixes, la stabilité de ces points fixes, ... . Les résultats de ce travail permettront ainsi d'éclaircir la relation existant entre la complexité d'une transformation birationnelle et les propriétés de ses points fixes.