Arithmétique dans Z et dans K (X): cours complet avec exercices et problèmes corrigés

Abstract

Cet ouvrage propose une introduction progressive et rigoureuse à l'arithmétique, une des branches les plus fascinantes et les plus fécondes des mathématiques. Nous nous intéressons plus précisément à l'arithmétique des nombres entiers et à celle des polynômes en une indéterminée. Ces deux domaines mettent en lumière de profondes analogies dans les concepts et les techniques. Le lecteur y découvre également cette remarquable spécificité de l'arithmétique pour la simplicité de ses énoncés et la variété de ses méthodes. Chacun des cinq premiers chapitres comporte un cours détaillé avec des démonstrations claires et précises, et se termine par une sélection d'exercices soigneusement choisis et entièrement corrigés. La rédaction est globalement conçue pour permettre un accès facile au lecteur débutant. Certains des exercices sont des applications directes du cours afin d'attirer l'attention sur un point délicat d'un théorème ou l'importance notable d'une nouvelle technique. Pour les corrigés, nous avons systématiquement privilégié la solution méthodique, que peut découvrir le lecteur lui-même, à l'éventuelle approche "miraculeuse". Un chapitre est entièrement dévolu à une sélection de problèmes de révision et de synthèse, tous entièrement corrigés. Enfin, pour le lecteur débutant, une annexe revient sur les notions de base de l'algèbre générale permettant ainsi un accès direct et confortable au contenu de l'ouvrage. Ce travail est conçu et rédigé de manière à être profitable aussi bien aux étudiants de L1, L2 et L3 des filières scientifiques, qu'aux candidats au CAPES et à l'agrégation interne.