Résumé:
Les physiciens se sont toujours intéressés aux problèmes relatifs des potentiels quantiques afin de déterminer leurs propriétés, et les équations d’onde (Schrödinger, Dirac,) ont été résolues par un grand nombre de méthodes et d’approches.
Parmi ces méthodes, on cite : l’approche par les intégrales de chemin, la méthode de factorisation, la super symétrie de la mécanique quantique, et la puissante théorie des groupes de Lie compacts et non compacts, etc. Bien qu’elles aient, d’un point de vue mathématique, des aspects différents pour traiter des potentiels, ces méthodes ne sont pas complètement différentes.
Dans ce sens, nous nous sommes intéressés dans cette thèse aux procédures de resommation, connexion et génération des potentiels quantiques multidimensionnels. Cette thèse a été divisée en trois grandes parties, dont voici l’arrangement:
Dans la première partie, nous avons utilisé différentes méthodes afin de déduire le spectre d'énergie de l'état fondamental aux faibles couplages pour des potentiels complexes multidimensionnels à anharmonicité cubique et invariants sous la transformation discrète PT, et développer la procédure de resommation sur les potentiels effectifs associés pour calculer le spectre d'énergie aux forts couplages
La seconde partie a été consacrée à la connexion des potentiels généralisés de Morse et de Pöschl-Teller par l'intermédiaire de l'équation de Schrödinger. La réalisation différentielle des opérateurs de la chaine du groupe sur un plan et sur une sphère nous a conduits aux équations de Schrödinger correspondantes aux potentiels généralisés de Morse et de Pöschl-Teller, respectivement, donnant ainsi la possibilité de lier et d'unifier les deux potentiels à travers des transformations globales.
Quant à la troisième partie, elle concerne la génération des potentiels hypergéométriques de Natanzon associés aux masses effectives dépendantes de la position et dépourvus des paramètres d'ambiguïté en utilisant les représentations conformes. L'intérêt particulier porté aux représentations conformes est dû essentiellement au fait qu’il est possible d’exécuter une représentation conforme du demi-plan de droite sur l'intérieur d'un cercle de rayon unité.
