Équations différentielles stochastiques et évaluations des options en finance

Abstract

Dans ce mémoire nous présentons les techniques de simulation Monte- Carlo avec application au calcul d’une option call européen à un actif financier. Nous considérons aussi l’accélération de la convergence via les méthodes quas avec possibilité de randomisation totale et partielle La MMC est une approche puissante et flexible pour fournir des estimations du prix d’option. Toutefois elle présente l’inconvénient d’une convergence lente. On peut éviter cet inconvénient en utilisant les méthodes de réduction de variance, malheureusement la réduction de la variance (méthode Monte - Carlo à des variables antithétiques) s’accompagne en général d’une augmentation du temps d’exécution de l’algorithme. Des autres approches dites les MQMC qui sont des alternatives déterministes basées sur les séquences à discrépances faibles. Plusieurs applications financières sont basées sur l’utilisation des MQMC. Les séquences (ou suites) déterministes ont une propriété similaire aux suites de variables aléatoires (i.i.d). utilisées par MMC en ce sens qu’elles sont ”bien” dispersées sur tout l’hyper accélère MMC, elle ne permet pas une estimation pratique de l’erreur (Intervalle de confiance). La randomisation de la MQMC perme d’avoir les deux bonnes propriétés des deux méthodes : Convergence rapide conduisant à un intervalle de confiance. Nous nous intéressons à la technique proposée par Owen, connue sous le nom méthode de randomisation (méthodes hybrides de MQMC). Faure fournit une permutation optimale pour le cas une modification récente de la technique de randomisation totale. Cette méthode s’appuie sur la randomisation partielle, avec une limite probabiliste sur l’erreur de la méthode de MQMC. La randomisation des points a conserve la propriété de discrépance, elle fournit une représentation simplifiée de la technique de randomisation totale, notamment, pour les problèmes de grandes dimensions. En considérant une série des études empiriques, nous observons que la randomisation accélère la convergence et permet d’utiliser des intervalles de confiance de l’estimation de l’erreur.