Méthode des martingales dans les problèmes de files d'attente

Abstract

La théorie de les d'attente vise à fournir la méthodologie d'évaluation de performance quantitative dans le cadre de certaines questions pratiques provenant de systèmes de communication et réseaux (débit, charge, temps de réponse...) et aussi une évaluation qualitative (stabilité, ergodicité, comparabilité...). ?tant donné que les approches classiques en théorie des les d'attente conduisent à des expressions complexes ou ne s'appliquent pas pour des systèmes complexes (multiserveurs), plusieurs méthodes d'évaluation ont été utilisées. Parmi les principales approches introduites es dernières années, on trouve la méthode des martingales. Les martingales constituent une lasse très importante de processus stochastiques pour laquelle les propriétés sont basées sur elles de l'espérance mathématique conditionnelle. L'interprétation de e processus stochastique est intéressante. En e et la valeur d'une martingale peut changer ; cependant, ses espérances restent constantes dans le temps. Plus important, l'espérance d'une martingale n'est pas acétée par l'échantillonnage aléatoire (optional sampling). A l'aide des martingales, on peut formuler des énoncés généraux très forts, et souvent intuitivement surprenants. Outre leur intérêt d'un point de vue purement mathématique, elles ont des applications lés en probabilités appliquées, en particulier les résultats de convergence des martingales et le théorème d'arrêt qui peuvent être appliqués une fois une martingale appropriée a été trouvée. L'avantage de cette approche est de permettre de formuler et d'analyser des problèmes plus généraux, en étudiant une extension plus large, que les méthodes traditionnelles. Dans cette thèse, nous étudions l'application de es méthodes à quelques modèles de systèmes de les d'attente. Dans un premier temps, nous présentons une nouvelle approche basée sur la théorie des martingales pour analyser le système M/G/1 ave rappels. En utilisant l'équation récursive du processus induit aux instants de départ de e système, nous avons construit une martingale arrêtée au premier instant où le système redevient vide. Nous avons obtenu le résultat de stabilité de e système et le nombre moyen de clients dans le système. 4 Dans un deuxième temps, nous utilisons la dé composition de Doob-Meyer des semi martingales pour analyser un système multiserveur non-markovien ave pertes. Tout d'abord, nous considérons le problème général où les processus d'arrivées et de départs sont des processus ponctuels. Nous obtenons les équations de la distribution du nombre de clients dans le système. Ensuite nous considérons le cas où le processus ponctuel est un processus de Poisson homogène et non-homogène. Nous complétons notre travail par des exemples numériques illustrant la manière dont des praticiens pourraient exploiter es résultats du point de vue d'aide à la décision : nombre minimal de serveurs pour garantir une probabilité de perte (refus) inférieure à un seuil à fixé.